Differentiation er et regneredskab vi stifter bekendtskab med i gymnasiet i Danmark, og mange husker nok basale regler som at $$ x^n $$ differentieres til $$ nx^{n-1} $$. De fleste har formentlig selv observeret det ved at beregne differenskvotienten for fx $$ x^2 $$ og tage grænseværdien. Men det er bare et tilfælde, så hvordan sikrer vi os at det virker for dem alle? Vi vil her lave den lidt mere generelle udledning.
Positive heltalseksponenter
Vi lader $$ y = f(x) = x^n $$ hvor $$ n \in \mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\} $$. Vi viser at $$ f'(x) = nx^{n-1} $$. Vi får brug for følgende: I) Vi skriver summer kompakt vha. sum-symbolet Sigma ($$ \Sigma $$), $$! \sum_{k=0}^n a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n. $$ II) For en toledet størrelse $$ (a+b)^n $$ gælder $$! (a+b)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k, $$ hvor $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ er binomial koefficienten. III) Vi observerer at $$ \binom{n}{1} = n $$.
Da har vi $$! \begin{aligned} \Delta y &= (x+\Delta x)^n – x^n \\ &= \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^k -x^n\\ &= \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^k \\ \frac{\Delta y}{\Delta x} &= nx^{n-1} + \sum_{k= 2}^n \binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^{k-1} \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} &= nx^{n-1} + \underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\Delta x\sum_{k= 2}^n \binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^{k-2}}_{=0} \end{aligned} $$ $$! f'(x) = \frac{dy}{dx} = nx^{n-1}. $$ Dermed er vi færdige.
Negative heltalseksponenter
Vi lader nu $$ y = f(x) = x^{-n} $$ hvor $$ n \in \mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\} $$ og $$ x \neq 0 $$. Vi viser nu at $$ f'(x) = -nx^{-n-1} $$. Da har vi $$! \begin{aligned} \Delta y &= (x+\Delta x)^{-n} – x^{-n} \\ &= \frac{1}{(x+\Delta x)^n} – \frac{1}{x^n} \\ &= \frac{x^n – (x+\Delta x)^n}{((x+\Delta x)x)^n} = -\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{((x+\Delta x)x)^n} \\ &= -\frac{nx^{n-1}\Delta x + \Delta x\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^{k-1}}{((x+\Delta x)x)^n}.\end{aligned} $$ Fra linie 2 til 3 sætter vi på fælles brøkstreg og fra linie 3 til 4 omskriver vi tælleren på samme måde som for positive heltal ovenover. $$! \begin{gathered} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{nx^{n-1} + \Delta x\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}x^{n-k}\Delta x^{k-2}}{((x+\Delta x)x)^n} \\ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = -\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}} = -nx^{-n-1}. \end{gathered} $$ Dermed er vi færdige.
Det vil sige… næsten færdige. Faktisk bør vi sikre os at $$ x+\Delta x \neq 0 $$. Siden $$ x \neq 0 $$ findes der tal mellem $$ 0 $$ og $$ |x| $$ og vi kan vælge $$ |\Delta x| $$ til at ligge der imellem. Så bliver $$ x+\Delta x $$ aldrig $$ 0 $$ og $$ \Delta x $$ kan gå mod $$ 0 $$ uden problemer.
Andre eksponenter…?
Reglen vi beskrev i starten holder helt generelt for $$ n $$. Ikke bare heltalseksponenter (forskellige fra $$ 0 $$), men også for reelle tal. Det vender vi tilbage til i den næste indlæg.